Beschränkter Operator

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In der Mathematik werden lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen als beschränkte (lineare) Operatoren bezeichnet, wenn ihre Operatornorm endlich ist. Lineare Operatoren sind genau dann beschränkt, wenn sie stetig sind, weshalb beschränkte lineare Operatoren oft als stetige (lineare) Operatoren bezeichnet werden.

Seien und normierte Vektorräume. Ein linearer Operator ist eine lineare Abbildung .

Ein beschränkter Operator ist ein linearer Operator, für den es ein mit für alle gibt.

Die kleinste Konstante mit für alle wird als Norm von bezeichnet. Für sie gilt

und für alle die Ungleichung

.

Ein linearer Operator ist genau dann beschränkt, wenn er stetig ist, also eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • falls , so gilt in der von der jeweiligen Norm induzierten Metrik,
  • für alle und alle gibt es ein mit
,

Beschränkte lineare Operatoren werden deshalb oft als stetige lineare Operatoren bezeichnet. Wenn die Linearität vorausgesetzt wird, spricht man häufig auch nur von stetigen Operatoren oder beschränkten Operatoren. Ist der Bildraum der Skalarenkörper, sagt man Funktional statt Operator.

Weiterhin sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  • Wenn endlich-dimensional ist, dann ist jeder lineare Operator stetig.
  • Wenn man zwei Normen auf demselben Vektorraum hat, dann sind die Normen genau dann äquivalent, wenn die Identitätsabbildungen in beiden Richtungen stetig sind.
  • Das durch definierte Funktional ist stetig mit , wobei wie üblich mit der Supremumsnorm versehen ist.
  • Das durch definierte Funktional ist stetig mit .
  • Das durch definierte Funktional ist stetig mit .
  • Aus der Hölder-Ungleichung folgt, dass für das durch definierte Funktional stetig ist mit .
  • Der durch eine stetige Funktion und definierte Integraloperator ist stetig und es gilt die Ungleichung .
  • Der Differentialoperator auf ist für die Supremumsnorm kein stetiger Operator. Zum Beispiel ist , aber . Der Operator ist aber stetig als Operator .

Der Raum der stetigen Operatoren

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Seien normierte Vektorräume. Dann ist

mit der Operatornorm ein normierter Vektorraum.

Wenn vollständig ist, dann ist auch vollständig.

Wenn ein dichter Unterraum und vollständig ist, dann hat jeder stetige Operator eine eindeutige stetige Fortsetzung mit .

Beschränkte lineare Operatoren zwischen topologischen Vektorräumen

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Analog zu obiger Definition nennt man einen linearen Operator zwischen topologischen Vektorräumen und beschränkt, falls das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.[1]

Falls und zusätzlich lokalkonvexe Vektorräume sind, so ist der beschränkte Operator stetig, genau dann, wenn ein bornologischer Raum ist.

Beschränkte Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen

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Teilweise werden in der deutschen Literatur nicht lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen auch als (nicht lineare) Operatoren bezeichnet.[2]

Sind also und topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

Einzelnachweise

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  1. Norbert Adasch, Bruno Ernst, Dieter Keim: Topological Vector Spaces. The Theory Without Convexity Conditions (= Lecture Notes in Mathematics. 639). Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 3-540-08662-5, S. 60.
  2. Klaus Deimling: Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade. Springer, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06888-0.