Benutzer:Photon89

Zwischenspeicher von "Partialspur"

Die Partialspur ist eine mathematische Operation, die in der Quantenmechanik verwendet wird.

Definition

Seien $H_{A}$ und $H_{B}$ zwei $\mathbb {C}$-Hilberträume der Dimensionen $N_{A}$ und $N_{B}$ und $H_{C}=H_{A}\otimes H_{B}$ ihr Hilbertraum-Tensorprodukt der Dimension $N_{A}N_{B}$. Für zwei quadratische Matrizen $A\in H_{A}$ und $B\in H_{B}$ ist ihr Tensorprodukt $C=A\otimes B\in H_{C}$ wieder eine quadratische Matrix mit

$C_{m_{A}m_{B};n_{A}n_{B}}=A_{m_{A}n_{A}}B_{m_{B}n_{B}},\quad \quad m_{A},n_{A}\in \{1,...,N_{A}\},\quad m_{B},n_{B}\in \{1,...,N_{B}\}$

Die Partialspur von $C$ im Raum $H_{A}$ der Ausgangsmatrix $A$ ist dann definiert als

$(\operatorname {Spur_{A}} C)_{m_{B}n_{B}}=\sum _{k=1}^{N_{A}}C_{km_{B};kn_{B}}$

analog zur Definition der Spur. Entsprechend ist die Partialspur von $C$ im Raum $H_{B}$ von $B$ definiert als

$(\operatorname {Spur_{B}} C)_{m_{A}n_{A}}=\sum _{k=1}^{N_{B}}C_{m_{A}k;n_{A}k}$

Mathematische Eigenschaften

Für die Partialspuren gilt folgende Beziehung:

$\operatorname {Spur} (C)=\operatorname {Spur_{A}} (\operatorname {Spur_{B}} C)=\operatorname {Spur_{B}} (\operatorname {Spur_{A}} C)$

Literatur

A. Messiah: Quantenmechanik, Band 1. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin, New York 1991, ISBN 3-11-011452-6, S. 249 f.