Bernoullische Differentialgleichung

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Die Bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob I Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

Durch die Transformation

kann man sie auf die lineare Differentialgleichung

zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Satz über die Transformation der Bernoullischen Differentialgleichung

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Sei und

eine Lösung der linearen Differentialgleichung

Dann ist

die Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung

Weiter besitzt die Bernoullische Differentialgleichung für jedes trivialerweise als Lösung für .

Es gilt

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

Beispiel: Logistische Differentialgleichung

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Die logistische Differentialgleichung

ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit . Löst man daher

ergibt sich

Da für alle mit

ist

die Lösung obiger Gleichung auf .

  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-32227-7