Bruhat-Zerlegung

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Die Bruhat-Zerlegung ist eine fundamentale Methode aus der Theorie der algebraischen Gruppen. Sie verallgemeinert die aus dem Gaußschen Eliminationsverfahren bekannte Tatsache, dass jede Matrix als Produkt einer oberen und unteren Dreiecksmatrix zerlegt werden kann. Benannt ist die Methode nach François Bruhat.

Bruhat-Zerlegung

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Es sei eine zusammenhängende reduktive algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper , eine Borel-Untergruppe und die Weyl-Gruppe von .

Dann hat man eine als Bruhat-Zerlegung bezeichnete Zerlegung

von als disjunkte Vereinigung von Doppelnebenklassen von parametrisiert durch die Elemente der Weyl-Gruppe .

Projektive Geometrie

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Die Doppelnebenklassen entsprechen den Nebenklassen . Aus der Bruhat-Zerlegung folgt also, dass die Weyl-Gruppe die Paare von Elementen der Fahnenvarietät modulo der Wirkung von parametrisiert.

Im Fall der projektiven linearen Gruppe ist die Fahnenmannigfaltigkeit und aus der Bruhat-Zerlegung folgt also, dass es modulo der Wirkung von genau Paare vollständiger Fahnen gibt.

Sei die projektive lineare Gruppe der komplexen -Matrizen. Dann besteht die Weyl-Gruppe aus zwei Elementen, die durch die Matrizen und repräsentiert werden. Jede -Matrix ist also ein Vielfaches einer Matrix, die entweder von der Form oder von der Form jeweils mit Dreiecksmatrizen ist. Wegen ist dann jedes Paar entweder im -Orbit von oder von , wobei der erste Fall genau dann eintritt, wenn mit ist.

Generische Matrizen

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Generische Elemente in algebraischen Gruppen

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Ein Element heißt generisch, wenn seine Bruhat-Zerlegung von der Form

mit beliebig und dem längsten Element in der Weyl-Gruppe ist.

Generische Elemente in GL(n,C)

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Eine (reelle oder komplexe) -Matrix ist generisch, wenn für alle die Minoren die Bedingung

erfüllen.

Normalform generischer Matrizen

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Jede generische Matrix lässt sich auf eindeutige Weise als

mit oberen Dreiecksmatrizen und einer Antidiagonalmatrix zerlegen. Die Einträge von und sind gegeben durch

    für
    für
    für ,

wobei die Hütchennotation für das Streichen der -ten Zeile bzw. Spalte steht.[1]

Einzelnachweise

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  1. Kapitel 9 in: S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert, The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds, Duke Math. J., Volume 164, Number 11 (2015), 2099–2160. online (ArXiv)