Dichtebündel

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Ein Dichtebündel ist ein Spezialfall eines Vektorbündels und wird im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie untersucht. Mit Hilfe dieser Bündel kann man einige aus der Analysis bekannte Objekte auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. So kann man ähnlich wie mit Differentialformen einen Koordinaten-invarianten Integralbegriff auf Mannigfaltigkeiten definieren. Man findet mit Hilfe dieser Bündel Verallgemeinerungen der Lp-Räume und der Distributionenräume auf Mannigfaltigkeiten.

Sei ein reeller, -dimensionaler Vektorraum und mit wird die n-te äußere Potenz des Vektorraums notiert. Für jedes definiert man eine r-Dichte als eine Funktion , so dass

für alle und für alle gilt. Der Vektorraum der -Dichten wird mit notiert.

r-Dichtebündel

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Sei eine glatte, -dimensionale Mannigfaltigkeit und eine reelle Zahl. Mit wird der Raum der globalen Schnitte auf einem Vektorbündel notiert.

Analog zur obigen Definition ist eine -Dichte auf einer Mannigfaltigkeit eine Abbildung

mit

für alle und für alle glatten Funktionen .

Das Vektorbündel der -Dichten ist dann definiert durch

Mit wird das Tangentialbündel bezeichnet.

Für induziert eine glatte Abbildung zwischen zwei glatten -dimensionalen Mannigfaltigkeiten einen Pullback

welcher für alle durch

definiert ist. Dabei ist der Pushforward von , sind und Untermannigfaltigkeiten so ist die Jacobi-Matrix von .

  1. Sei wieder eine glatte Mannigfaltigkeit. Da der Vektorraum der 0-Dichten nur aus den konstanten Funktionen besteht, gilt für das entsprechende Dichtebündel
  2. Für gilt die Isomorphie
  3. Aus den Eigenschaften 1. und 2. folgt

    und daher ist der Dualraum von und man schreibt

Integration auf Mannigfaltigkeiten

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Eins-Dichten sind insbesondere deshalb wichtig, weil sie (koordinatenunabhängig) auf Mannigfaltigkeiten integriert werden können. Ihr Vorteil gegenüber Differentialformen, welche auch diese Eigenschaft haben, ist, dass man Dichten auch auf nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten integrieren kann.

Sei also eine glatte Mannigfaltigkeit und sei eine 1-Dichte. Dann ist das Integral von über wie folgt definiert. Sei eine endliche Familie von Karten, welche überdecken. Und sei eine subordinierte Zerlegung der Eins. Dann setze

.

Die rechte Seite ist unabhängig von der Wahl der Karte und der Wahl der Zerlegung der Eins.

  • Das Integral ist invariant bezüglich Diffeomorphismen. Das heißt, für alle glatten Mannigfaltigkeit und der gleichen Dimension und jeden Diffeomorphismus und jede 1-Dichte gilt
  • Das Integral ist lokal, das heißt, für jede Teilmenge und jede 1-Dichte mit gilt
  • Für jedes gilt

    Das rechte Integral ist ein normales Lebesgueintegral einer glatten Funktion mit kompaktem Träger.

Sei eine messbare 1-Dichte mit kompaktem Träger. Existiert das Integral , so nennt man einen -Schnitt dessen Norm durch

gegeben ist. Die Vervollständigung dieser Menge bezüglich der gegebenen Norm liefert den Raum Ist die Mannigfaltigkeit kompakt, so bewirkt die Vervollständigung nichts.

Seien nun und und eine der beiden Dichten habe kompakten Träger. Dann ist aufgrund der Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum und hat kompakten Träger. Somit ist integrierbar.

Ist integrierbar so spricht man analog von einem -Schnitt dessen Norm durch

gegeben ist. Die Vervollständigung liefert den Raum Ebenfalls wieder wegen Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum ist der Raum mit der Dualraum zu

Dichtebündel über dem reellen Raum

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Sei die zu betrachtende Mannigfaltigkeit. Das Tangentialbündel ist ein triviales Vektorbündel, daher existieren in und im Dichtebündel globale Schnitte. Sei die kanonische Basis von , dann ist eine Basis des eindimensionalen Raums . Es gibt dann einen glatten nirgends verschwindenden Schnitt , der durch

definiert ist. Für jede glatte Abbildung ist eine glatte 1-Dichte. Das Objekt kann als das Lebesgue-Maß verstanden werden.[1]

Sei ein glatter Diffeomorphismus, dann gilt

Dabei bezeichnet die Jacobi-Matrix von .[1] Diesen Zusammenhang findet man auch bei der Koordinatentransformation von Integralen. Vergleiche dazu auch Transformationssatz.

Riemannsche Dichte

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Sei eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, dann existiert für das Tangentialbündel ein orthonormaler Rahmen bezüglich der riemannschen Metrik. Der eindeutig bestimmte globale Schnitt mit

heißt riemannsche Dichte. Dieser Schnitt existiert ohne weitere Voraussetzungen immer.[2]

Ersetze in der Definition von das Tangentialbündel durch das Tensorbündel Dann heißt das davon induzierte Dichtebündel das -Tensordichtebündel. Im Fall heißen die Elemente Tensorfelder.

Da man wie weiter oben im Artikel beschrieben 1-Dichten über Teilmengen einer Mannigfaltigkeit integrieren kann, erlaubt dies nun Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Sei der Raum der glatten Schnitte mit kompaktem Träger. So kann man eine von induzierte Distribution

definieren durch

Aus diesem Grund setzt man

Dies ist der Raum der glatten Schnitte mit kompaktem Träger, welcher analog zum Raum der Testfunktionen mit kompaktem Träger definiert ist. Der Raum der Distributionen ist dann analog zur reellen Analysis als topologischer Dualraum definiert. Man setzt also

  • Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3.
  • S. R. Simanca: Pseudo-differential operators (= Pitman Research Notes in Mathematics Series 236). Longman Scientific & Technical u. a., Harlow u. a. 1990, ISBN 0-582-06693-X.

Einzelnachweise

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  1. a b Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 108.
  2. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 33.