Diracmaß

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Ein Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Maß in der Maßtheorie mit ein-elementigem Träger. Das Diracmaß ist die Verteilung einer fast sicher konstanten Zufallsvariable, und spielt eine Rolle als Formalisierung des Begriffes der Delta-Distribution.

Es sei ein messbarer Raum gegeben, also eine Grundmenge zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra . Zu jedem Punkt wird eine zugehörige Abbildung definiert, die jeder Menge den Wert zuordnet, wenn sie enthält, und den Wert , wenn sie nicht enthält:

Die Abbildung ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt genannt. Wegen ist sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und ein Wahrscheinlichkeitsraum. Damit lässt sich die Dirac-Verteilung definieren. Beim Diracmaß ist die Einheitsmasse im Punkt konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion kann man die definierende Gleichung auch durch

für alle und ausdrücken.

Eigenschaften des Dirac-Maßes

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sei das Dirac-Maß, das auf einem festen Punkt in einem messbaren Raum zentriert ist.

Angenommen, dass ein topologischer Raum ist und dass mindestens so fein ist wie die Borel-Algebra -Algebra auf ist, dann gilt:

  • ist ein streng positives Maß, wenn und nur wenn die Topologie so ist, dass innerhalb jeder nichtleeren offenen Menge liegt, z. B. im Fall der trivialen Topologie .
  • Da ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ist es auch ein lokal endliches Maß.
  • Wenn ein topologischer Hausdorff-Raum mit seiner Borel -Algebra ist, dann erfüllt die Bedingung, ein inneres reguläres Maß zu sein, da Singleton-Mengen wie immer kompakt sind. Folglich ist auch ein Radon-Maß.
  • Unter der Annahme, dass die Topologie fein genug ist, dass geschlossen ist, was in den meisten Anwendungen der Fall ist, ist die Unterstützung von gleich . (Andernfalls ist der Abschluss von in ). Außerdem ist das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Unterstützung ist.
  • Wenn ein -dimensionaler euklidischer Raum mit seiner üblichen -Algebra und -dimensionalem Lebesgue-Maß ist, dann ist ein singuläres Maß in Bezug auf : Man zerlegen einfach als und und stellt fest, dass .
  • Das Dirac-Maß ist ein -finites Maß.

Das Dirac-Integral der Funktion ist definiert als das Lebesgue-Integral unter dem Dirac-Maß. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion f.

Die Abbildung sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion unter dem Dirac-Maß ist durch

definiert, wobei eine beliebige Folge einfacher Funktionen ist, die punktweise und monoton wachsend gegen konvergiert. Eine einfache Funktion ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte annimmt. sei die Anzahl der Funktionswerte ; seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion jeweils den Wert annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

Ist , dann ist erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen . Dann ist auch das Dirac-Maß von allen gleich Null. Folglich ist das Integral über insgesamt gleich Null.

Ist für irgendein , so ist das Dirac-Maß von gleich ; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen ist dann gleich Null. Für das Integral der einfachen Funktionen ergibt sich somit:

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle , wenn ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle und gilt

Als einelementige Teilmenge von ist . Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls , so ist auch eine Integration über und möglich.