Doppelt-stochastische Matrix

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In der Mathematik bezeichnet eine doppelt-stochastische Matrix (manchmal auch doppelt-stochastische Übergangsmatrix) eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen betragen und deren Elemente zwischen und liegen.

Charakterisierungen

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Die folgenden Charakterisierungen doppelt-stochastischer Matrizen sind äquivalent:

  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen und liegen.
  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn sowohl als auch die transponierte Matrix Übergangsmatrizen sind.
  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind.

Eigenwerte und Eigenvektoren

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Wie alle Übergangsmatrizen besitzen auch doppelt-stochastische Matrizen als betragsgrößten Eigenwert den Eigenwert . Da jede doppelt-stochastische Matrix sowohl zeilen- als auch spaltenstochastisch ist, ist der Einsvektor (welcher nur Einsen als Einträge hat) sowohl Links- als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt-stochastischen Matrix. Ist nun die Matrix doppelt-stochastisch und noch zusätzlich entweder irreduzibel oder echt positiv (vgl. Satz von Perron-Frobenius), so ist die einzige stationäre Verteilung der Markow-Kette, die durch charakterisiert wird, die Gleichverteilung, also der Wahrscheinlichkeitsvektor (das bezieht sich auf die Dimension der -Matrix ).

Satz von Birkhoff und von Neumann

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Für eine -Matrix gilt, dass sie genau dann doppelt-stochastisch ist, wenn sie eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist.

Zusatz: Die Permutationsmatrizen sind die Extremalpunkte der Menge der doppelt-stochastischen Matrizen.