Fréchet-Metrik

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Fréchet-Metrik (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her.

Sei ein beliebiger reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Fréchet-Metrik ist eine Funktion , die für folgende Bedingungen erfüllt:

  1. , wobei

Das heißt, ist symmetrisch, nichtnegativ und erfüllt die Dreiecksungleichung.

  • Jede Norm auf ist eine Fréchet-Metrik, denn erfüllt offensichtlich die Bedingungen (2) und (3). Die Gültigkeit von (1) folgt aus der Homogenität von Normen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist für die Fréchet-Metrik

    keine Norm, da sie nicht homogen ist.
  • Ist eine abzählbare Familie von Halbnormen auf dem Vektorraum mit der Eigenschaft
    für alle
    dann wird durch

    eine Fréchet-Metrik definiert, die dieselbe Topologie erzeugt wie die Familie von Halbnormen.
  • Die -Räume für ausgestattet mit der Fréchet-Metrik

    sind Beispiele für im Allgemeinen nicht lokalkonvexe Räume.[1]
  • Durch eine Fréchet-Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermöge . Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist, folgt direkt aus der Definition der Fréchet-Metrik.
  • Umgekehrt gilt: Jede Metrik auf einem Vektorraum, die translationsinvariant ist, d. h. , entsteht durch genau eine solche Fréchet-Metrik.
  • Ein (Hausdorffscher) topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist.
  • Wenn ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Fréchet-Metrik die zusätzlichen Eigenschaften hat, dass er vollständig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist, dann handelt es sich um einen Fréchet-Raum.
  • H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Aufl., Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43947-1.

Einzelnachweise

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  1. H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11, S. 140.