Geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist in der Mathematik eine Zahlenfolge, bei der benachbarte Folgenglieder stets im selben Verhältnis zueinander stehen. Die Summierung der Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt eine geometrische Reihe.

Definition

Enge Definition

Eine Zahlenfolge $\left(a_{n}\right)$ heißt geometrische Folge, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, d. h. stets ein und derselben Zahl entspricht. Wird diese Zahl mit $q$ („Quotient“) bezeichnet, so gilt also für jeden Folgenindex $n$:

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q$.

Hierbei muss $q\neq 0$ vorausgesetzt werden, da ansonsten gar nicht für alle Nachbarglieder das Verhältnis ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ existieren würde.

Weite Definition

Aus der obigen Gleichung erhält man durch Multiplikation mit $a_{n}$ den Zusammenhang

$a_{n+1}=a_{n}\cdot q$.

Alternativ wird eine geometrische Folge auch durch diese Gleichung definiert. Dabei muss der Fall $q=0$ nicht mehr ausgeschlossen werden.

Berechnung

Die Glieder $a_{1},a_{2},\ldots$ einer geometrischen Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ lassen sich aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen durch die Rekursionsformel

$a_{n+1}=a_{n}\cdot q$.

Alternativ lässt sich jedes Folgenglied auch direkt berechnen. Zur Herleitung einer entsprechenden Formel benutzt man wiederholt die Rekursionsformel und setzt die Zwischenergebnisse ein:

${\begin{aligned}a_{1}&=a_{0}\cdot q\\a_{2}&=a_{1}\cdot q=(a_{0}\cdot q)\cdot q=a_{0}\cdot q^{2}\\a_{3}&=a_{2}\cdot q=(a_{0}\cdot q^{2})\cdot q=a_{0}\cdot q^{3}\\&\vdots \end{aligned}}$

Allgemein erhält man für das Glied $a_{n}$ einer geometrischen Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ die explizite Formel

$a_{i}=a_{0}\cdot q^{i}$.

Manchmal wird das Anfangsglied auch mit $a_{1}$ bezeichnet wird. Dann lautet die Formel für das Glied $a_{n}$entsprechend

$a_{i}=a_{1}\cdot q^{i-1}$.

Mithilfe der geschlossenen Formel lässt sich eine geometrische Folge mit Anfangsglied $a_{0}$ schreiben als $(a_{n})=(a_{0},a_{0}q,a_{0}q^{2},a_{0}q^{3},\ldots )$.

Zahlenbeispiele

• Die geometrischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=5$ und dem Quotienten $q=3$ lautet $5,\ 15,\ 45,\ 135,\ 405,\ 1215,\ 3645,\ 10935,\ 32805,\ \dotsc$ Das Glied $a_{n}$ lässt sich mithilfe der expliziten Formel berechnen als $a_{n}=5\cdot 3^{n}$.

• Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=1$ und dem Quotienten $q=-{\tfrac {1}{2}}$ lautet ${\textstyle +1,\ -{\frac {1}{2}},\ +{\frac {1}{4}},\ -{\frac {1}{8}},\ +{\frac {1}{16}},\ -{\frac {1}{32}},\ +{\frac {1}{64}},\ -{\frac {1}{128}},\ +{\frac {1}{256}},\ \dotsc }$ Nach der expliziten Formel ist ${\textstyle a_{n}=1\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}=(-1)^{n}/2^{n}}$.
• Die konstante Folge $2,2,2,\ldots$ ist eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=2$ und dem Quotienten $q=1$.

Anwendungsbeispiele

Die geometrische Folge beschreibt Wachstums- oder Schrumpfungsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt $n+1$ aus der Messgröße zum Zeitpunkt $n$ durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor $q$ ergibt. Beispiele:

Zinseszins

→ Hauptartikel: Zinseszins

Bei einem Zinssatz von fünf Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis $q=1{,}05$. Die Zahl $q$ heißt in diesem Zusammenhang Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

• nach einem Jahr ein Kapital von

$1000\,{\text{Euro}}\cdot 1{,}05=1050\,{\text{Euro}},$

• nach zwei Jahren ein Kapital von

$1000\,{\text{Euro}}\cdot 1{,}05^{2}=1102{,}50\,{\text{Euro}},$

• nach drei Jahren ein Kapital

$1000\,{\text{Euro}}\cdot 1{,}05^{3}=1157{,}63\,{\text{Euro}}$

und so weiter.

Unelastischer Stoß

Ein Ball wird von einer Anfangshöhe $h_{0}$ auf den Boden fallen gelassen. Nach jedem Aufprall mit dem Boden hüpft er wieder nach oben, verliert jedoch aufgrund von Reibung einen festen Prozentsatz $p\%$ seiner Sprunghöhe. Dann bilden die Sprunghöhen $h_{n}$ des Balls nach dem $n$-ten Aufprall eine geometrische Folge mit Anfangsglied $h_{0}$ und Verhältnis $q=1-p\%$.

Gleichstufige Stimmung

→ Hauptartikel: Gleichstufige Stimmung

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

$f(i)=a_{0}\cdot \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{i}$,

wobei $a_{0}$ beispielsweise die Frequenz des Kammertons und $i$ die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. $f(i)$ ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand $i$ zum „Ursprungston“ $a_{0}$.

Der Wachstumsfaktor ist also $q={\sqrt[{12}]{2}}$.

Konvergenz geometrischer Folgen

Vorüberlegungen

Bei der Untersuchung des Konvergenzverhaltens einer unendlichen geometrischen Folge $a_{0},a_{0}q,a_{0}q^{2},a_{0}q^{3},\ldots$ müssen verschiedene Fälle unterschieden werden: Für $a_{0}=0$ liegt die konstante Folge $0,0,\ldots$ vor, die gegen den Wert null konvergiert. Für $a_{0}\neq 0$ lässt sich die Rekursionsgleichung $a_{n+1}=a_{n}\cdot q$ so veranschaulichen, dass jedes Folgenglied $a_{n+1}$durch eine Skalierung mit $q$ aus seinem Vorgänger $a_{n}$ hervorgeht. Die größenmäßige Entwicklung der Folgenglieder hängt somit von $q$ ab: Ist der Betrag $|q|$ kleiner als Eins, so wird der vorherige Wert jeweils verkleinert und die Folgenglieder folglich immer kleiner; ist $|q|$ größer als Eins, so wird der vorherige Wert jeweils vergrößert und die Folgenglieder immer größer. Bei $q=-1$ springen die Folgenglieder immer zwischen $a_{0}$ und $-a_{0}$ hin und her, d. h. die Folge konvergiert nicht. Bei $q=1$ schließlich handelt es sich um die konstante Folge $a_{0},a_{0},\ldots$

Satz

Für eine unendliche geometrische Folge $a_{0},a_{0}q,a_{0}q^{2},a_{0}q^{3},\ldots$ gilt:

Ist $a_{0}=0$, so konvergiert die Folge gegen null. Ansonsten hängt das Konvergenzverhalten von $q$ ab:

• Für $q=1$ konvergiert die Folge gegen $a_{0}$,
• für $q=-1$ divergiert die Folge,
• für $|q|>1$ divergiert die Folge und
• für $|q|<1$ konvergiert die Folge gegen null.

Beweis

Es müssen nur noch die letzte Aussage gezeigt werden. Sei dazu $\varepsilon >0$ vorgegeben.

Behauptet ist die Existenz eines $i_{0}$ mit der Eigenschaft, dass für alle $i>i_{0}$ gilt: $|a_{i}|<\varepsilon$. $\mathbf {(1)}$

Wegen $0<|q|<1$ und ${\tfrac {\varepsilon }{|a_{0}|}}>0$ existiert

$i_{0}=:{\frac {\ln \left({\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}\right)}{\ln(|q|)}}$.

Hierbei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus.

Wegen $|q|<1\Rightarrow \ln(|q|)<0$ kehrt sich für alle $i>i_{0}$ nach Multiplikation mit $\ln(|q|)$ das Ungleichheitszeichen um:

$i\cdot \ln |q|<i_{0}\cdot \ln |q|=\ln \left({\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}\right)$;

für $i\in \mathbb {N}$ ist $i\cdot \ln |q|=\ln \left(|q|^{i}\right)=\ln \left(\left|q^{i}\right|\right)$; Exponenzieren (zur Basis $e$) verändert das Ungleichheitszeichen nicht:

$\left|q^{i}\right|<{\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}$;

wegen $|a_{0}|>0$ bleibt das Ungleichheitszeichen nach Multiplikation mit dem Nenner unverändert; mit $|a_{0}|\cdot \left|q^{i}\right|=\left|a_{0}\cdot q^{i}\right|$:

$\left|a_{0}\cdot q^{i}\right|<\varepsilon$; damit (1), q. e. d.

B. Behauptung: $(a_{i})$ ist höchstens dann eine Nullfolge, wenn $|q|<1$ ist. $\Leftrightarrow$ $(a_{i})$ ist keine Nullfolge, wenn $|q|\geq 1$ ist.

Beweis: $(a_{i})$ ist (bereits) dann keine Nullfolge, wenn ein $\varepsilon >0$ so wählbar ist, dass für alle $a_{i}$ gilt: $|a_{i}|\geq \varepsilon$.

Multiplikation der Bedingung $|q|\geq 1$ mit $\left|a_{0}\cdot q^{i}\right|$ ergibt (wegen $\left|a_{0}\cdot q^{i}\right|>0$ ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens):

$\left|a_{0}\cdot q^{i+1}\right|\geq \left|a_{0}\cdot q^{i}\right|$, damit:

$|a_{i+1}|\geq |a_{i}|$. $\mathbf {(2)}$.

Ein $\varepsilon$ mit $|a_{0}|\geq \varepsilon >0$ sei gewählt. Mit (2) gilt dann auch für alle $i>0$: $|a_{i}|\geq \varepsilon$, q. e. d.

Namensherkunft

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer geometrischen Folge (außer dem Anfangsglied) ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder.

Siehe auch

• Arithmetische Folge
• Wachstumsfaktor (Mathematik)
• exponentieller Vorgang
• E-Reihe
• Renard-Serie

Weblinks

• Schülergerechte Erklärungen