Inhomogene lineare Differentialgleichung

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Eine inhomogene lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung der Form

mit stetigen Funktionen , oder allgemeiner eine Differentialgleichung n. Ordnung der Form

mit stetigen Funktionen . Die Funktion wird als Inhomogenität der Differentialgleichung bezeichnet.

Inhomogene lineare Differentialgleichungen können mit der Methode der Variation der Konstanten gelöst werden:

Man bestimmt zunächst ein Fundamentalsystem von Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung . (Im Fall 1. Ordnung verwendet man nur eine Lösung der Gleichung .)

Dann wählt man den Ansatz und löst die sich ergebenden Differentialgleichungen für die Konstanten .

Wir betrachten die Differentialgleichung

.

Die zugehörige homogene Gleichung hat die Lösungen .

Wir wählen deshalb den Ansatz

,

woraus sich für die Differentialgleichung

mit Lösung ergibt. Die Lösungen der inhomogenen Gleichung sind also von der Form

.

Gegeben sei eine Differentialgleichung (DGL), wie sie z. B. für lineare zeitinvariante Systeme oder in der Zustandsraumdarstellung für dynamische Systeme Verwendung findet:

Die zugehörige homogene Differentialgleichung hat folgende Lösung:

Die Lösung der inhomogenen DGL erfolgt mit der Methode Variation der Konstanten. Dazu wird auf die Lösung der homogenen DGL aufgebaut. Die Lösungs-Konstante wird „variiert“ und im Folgenden C(t) genannt:

Lösungs Ansatz:

Ableitung mit Kettenregel:

Beides eingesetzt in die ursprüngliche inhomogene DGL und durch Multiplikation mit nach aufgelöst:

Beide Seiten dieser Gleichung werden integriert. Der linke Term ergibt sich aus der Überlegung, dass die Ableitung von ja ergibt:

.

Auflösung nach und Verwendung von :

Eingesetzt in obigen Lösungs-Ansatz ergibt sich das Ergebnis nach einigen Umformungen:

Die Lösung für die inhomogene DGL der Zustandsraumdarstellung ergibt sich schließlich zu: