Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

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Die Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung ist eine Ungleichung aus dem Bereich der Stochastik. Sie ist eine Verallgemeinerung der Tschebyscheff-Ungleichung und nach dem Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt.

Eindimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

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Die (eindimensionale) Tschebyscheffsche Ungleichung besagt, dass für eine reelle Zufallsvariable mit dem Erwartungswert und der Varianz die Wahrscheinlichkeit, dass einen Wert außerhalb des Intervalls annimmt, höchstens gleich ist, d. h.

Z. B. ergibt sich für

d. h. außerhalb des -Intervalls um dem Erwartungswert liegt höchstens die Wahrscheinlichkeit 1/4. Bei einer Zufallsstichprobe sind höchstens 25 % der Werte von außerhalb des Intervalls zu erwarten.

Mehrdimensionale Verallgemeinerung

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sei ein -dimensionaler Zufallsvektor mit Erwartungswertvektor und invertierbarer Kovarianzmatrix . Dann hat die reelle Zufallsvariable den Erwartungswert [1] und mit der Markow-Ungleichung folgt

.

Damit gilt für den Zufallsvektor die Ungleichung

.

Diese Ungleichung ergibt sich als Spezialfall einer Ungleichung für quadratische Formen von Zufallsvariablen.[2][3] Die Ungleichung wurde bereits 1962 von Samuel Stanley Wilks angegeben.[4]

Die Menge

ist ein Ellipsoid mit Mittelpunktvektor . Die mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung besagt somit für , dass außerhalb einer Konzentrationsellipse mit höchstens 50 % der Stichproben-Tupel liegen. Das ist (wie im Eindimensionalen) eine grobe Abschätzung.

Beachte, dass die quadratische Form den Rand der Streuregion einer zentrierten -dimensionalen Normalverteilung mit invertierbarer Kovarianzmatrix beschreibt. Siehe auch Streuregionen der mehrdimensionalen Normalverteilung und Quadratische Formen von Zufallsvariablen.

  • Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 1391, doi:10.1007/978-3-662-64389-1.
  • D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms. In: SIAM Journal on Applied Mathematics. Band 42, Nr. 2, 1982, S. 297–301, Theorem 1, S. 297, JSTOR:2101213.
  • A. M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables – Theory and Applications (= Statistics: Textbooks and Monographs. Band 126). Dekker, New York / Basel / Hong Kong 1992, ISBN 0-8247-8691-2, Theorem 4.8.1, S. 188.

Einzelnachweise

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  1. Siehe dazu Erwartungswert einer quadratischen Form von Zufallsvariablen.
  2. A. M. Mathai, Serge B. Provost: Quadratic Forms in Random Variables – Theory and Applications (= Statistics: Textbooks and Monographs. Band 126). Dekker, New York / Basel /Hong Kong 1992, ISBN 0-8247-8691-2, Theorem 4.8.1, S. 188.
  3. D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms. In: SIAM Journal on Applied Mathematics. Band 42, Nr. 2, 1982, S. 297–301, Theorem 1, S. 297, JSTOR:2101213.
  4. S. S. Wilks: Mathematical Statistics. Wiley, New York 1962, S. 92 (referenziert nach D. R. Jensen: Joint Distributions of Quadratic Forms, S. 298).