Poisson-Algebra

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Eine Poisson-Algebra ist in der Mathematik eine kommutative, assoziative Algebra, welche mit einer Poisson-Klammer ausgestattet ist. Die Klammer ist eine Lie-Klammer, welche zusätzlich die Leibnizregel erfüllt, das heißt sie ist eine Derivation der assoziativen Multiplikation.

Poisson-Algebra

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Sei ein kommutativer Ring. Eine Poisson-Algebra ist eine kommutative, assoziative -Algebra mit einer -bilinearen und antisymmetrischen Abbildung

,

genannt Poisson-Klammer, so dass

  • eine Lie-Algebra über ist,
  • die Poisson-Klammer die Leibnizregel erfüllt
.[1]

Die Striche in der leeren Poisson-Klammer stehen dabei für einen Platzhalter.

Der -Modul ist mit zwei -bilinearen Abbildungen ausgestattet, der Multiplikation und der Poisson-Klammer .

Für die Multiplikation und gilt

Kommutativität:
Assoziativität:

Für die Poisson-Klammer und gilt

Antisymmetrie: und
Leibnizregel:
Jacobi-Identität:

Für ein ist die Poisson-Klammer eine Derivation der Multiplikation, denn es gilt nach den Regeln

Poisson-*-Algebra

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Falls eine Poisson-Algebra über ist, die zusätzlich eine *-Algebra ist und für folgendes

erfüllt, so nennt man eine Poisson-*-Algebra.[2]

  • Sei eine Poisson-Mannigfaltigkeit mit der Poisson-Klammer auf dem Raum der glatten Funktionen , dann ist das Paar eine Poisson-Algebra.

Einzelnachweise

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  1. Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8, S. 10–11.
  2. Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6, S. 20.