Positiv semidefinite Funktion

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Eine positiv semidefinite Funktion ist eine spezielle komplexwertige Funktion, die meist auf den reellen Zahlen oder allgemeiner auf Gruppen definiert wird. Verwendung finden diese Funktionen beispielsweise bei der Formulierung des Satzes von Bochner, der die charakteristischen Funktionen in der Stochastik beschreibt.

Eine Funktion

heißt eine positiv semidefinite Funktion, wenn für alle und alle und alle gilt, dass

ist. Allgemeiner heißt eine Abbildung von einer (hier multiplikativ geschriebenen) Gruppe

eine positiv semidefinite Abbildung, wenn für alle und alle und alle gilt:

.

Alternative Definition

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Alternativ lässt sich eine positiv semidefinite Funktion definieren als eine Funktion, bei der für alle die Matrix

eine positiv semidefinite Matrix ist.

Positiv semidefinite Funktionen treten beispielsweise in der Stochastik auf. Dort wird ausgehend von trennenden Familien gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeitsmaße auf durch die Angabe einer charakteristischen Funktion eindeutig bestimmt sind. Somit existiert eine Bijektion zwischen den Wahrscheinlichkeitsmaßen und den charakteristischen Funktionen. Die Menge der charakteristischen Funktionen bleibt dabei aber unklar, sprich für eine vorgegebene Funktion ist nicht offensichtlich, ob es sich um die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes handelt oder nicht.

Der Satz von Bochner beschreibt die charakteristischen Funktionen nun vollständig mithilfe der positiv semidefiniten Funktionen: Eine stetige Funktion von nach ist genau dann die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, wenn sie positiv semidefinit ist und ist.