Satz von Fejér

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In der Mathematik ist der Satz von Fejér (nach Leopold Fejér) eine der wichtigsten Aussagen über die Konvergenz von Fourierreihen. Der Satz besagt, dass die arithmetischen Mittel der Partialsummen der Fourierreihe einer stetigen, -periodischen Funktion gleichmäßig gegen die Funktion konvergieren.

Er wurde von Fejér 1900 bewiesen.[1]

Sei der Raum der stetigen -periodischen Funktionen. Die -te Partialsumme der Fourierreihe einer Funktion ist gegeben durch mit den Fourierkoeffizienten . Der Satz von Fejér lautet nun:

Sei , dann konvergiert

für gleichmäßig in gegen .

Der Satz von Fejér kann in dieser Form nicht weiter verschärft werden:

  • Leopold Fejér konstruierte 1911 ein Beispiel einer Funktion , deren Fourierreihe in wenigstens einem Punkt nicht konvergiert.
  • Wird die Bedingung der Stetigkeit zu stückweiser Stetigkeit abgeschwächt, konvergieren auch die arithmethischen Mittel der Partialsummen in den Unstetigkeitsstellen nicht mehr gegen den Funktionswert.
  • Falls eine Fourierreihe einer Funktion aus in einem Punkt konvergiert, dann konvergiert sie gegen den Funktionswert.
  • Die Fourierreihenentwicklung ist eindeutig: Zwei Funktionen aus haben genau dann die gleiche Fourierreihe, wenn sie als Funktionen übereinstimmen.
  • Die Partialsummen einer Funktion konvergieren in der -Norm gegen die Funktion, d. h. , wobei
  • Für gilt die sogenannte Bessel-Gleichung: , wobei die Fourierkoeffizienten von sind.
  • Durch Polarisieren erhält man aus der Bessel-Gleichung den Satz von Parseval: Seien mit Fourierkoeffizienten bzw. . Dann gilt: , wobei das L2-Skalarprodukt ist.

Einzelnachweise

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  1. Fejér, Sur les fonctions bornées et intégrables, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Band 131, 1900, S. 984–987