Seiberg-Witten-Invariante

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In der Mathematik sind die Seiberg-Witten-Invarianten wichtige Invarianten differenzierbarer 4-Mannigfaltigkeiten. Zu ihren Anwendungen gehören der Beweis der Thom-Vermutung oder der Nichtexistenz von Metriken positiver Skalarkrümmung, Zerlegungen als zusammenhängender Summe oder symplektischer Strukturen auf verschiedenen 4-Mannigfaltigkeiten. Weiterhin können sie verschiedene Differentialstrukturen auf topologischen 4-Mannigfaltigkeiten unterscheiden.

Sei eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer Spinc-Struktur mit assoziierten Spinorbündeln und Determinantenbündel .

Für eine generische selbst-duale 2-Form ist der Raum der Lösungen der gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen eine kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension

.

Die Eichgruppe und ihre Untergruppe wirken auf . Der Quotientenraum ist ein -Hauptfaserbündel über . Sei seine Eulerklasse.

Wenn ungerade ist, dann ist die Dimension von eine gerade Zahl . Man definiert dann

.

Für hängt diese Invariante nicht von und ab und wird als Seiberg-Witten-Invariante bezeichnet.

Im Folgenden sei stets ungerade und . Eine Kohomologieklasse heißt Basisklasse, wenn es eine Spinc-Struktur mit und gibt.

  • Wenn ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus ist, dann ist
  • Für jede Basisklasse gilt .
  • Für die duale Spinc-Struktur gilt
  • hat nur endlich viele Basisklassen.
  • Wenn eine Metrik positiver Skalarkrümmung besitzt, dann gilt für alle .
  • Wenn für kompakte, orientierbare, glatte 4-Mannigfaltigkeiten mit , dann gilt für alle .
  • Wenn gilt und für eine Spinc-Struktur mit die Ungleichung gilt, dann ist .
  • Für eine eingebettete, kompakte, orientierbare Fläche des Geschlechts gilt für jede Basisklasse .
  • Wenn eine symplektische Mannigfaltigkeit mit kanonischer Spinc-Struktur ist, dann ist .