Sobolevsche orthogonale Polynome

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Sobolevsche orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome bezüglich eines sobolevschen inneren Produktes, das heißt ein inneres Produkt mit Ableitungen. Dadurch ist der Multiplikationsoperator bezüglich des inneren Produktes nicht mehr kommutativ

und die Polynome verlieren ein paar gute Eigenschaften der klassischen orthogonalen Polynome. Zum Beispiel gelten Favards Theorem (somit auch die 3-Rekursionsrelation) und die Christoffel-Darboux-Formel nicht mehr. Klassische orthogonale Polynome sind allerdings auch sobolevsche orthogonale Polynome, da deren Ableitungen wieder orthogonale Polynome sind.

Sie sind nach Sergei Lwowitsch Sobolew benannt.

Sobolevsche orthogonale Polynome

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Seien positive Borelmaße auf mit endlichen Momenten. Betrachte das innere Produkt

mit zugehörigem Sobolev-Raum , dann sind die sobolevschen orthogonalen Polynome durch

definiert, wobei das Kronecker-Delta bezeichnet. Man nennt solche Polynome auch sobolev-orthogonal.

Es existiert viel Literatur für den Fall .

Kohärente Paare

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Sei und betrachte das innere Produkt

Kohärent:

Sei eine Folge von monischen orthogonalen Polynome (MOPS) bezüglich und eine MOPS bezüglich . Dann bezeichnet man als kohärent wenn eine reelle Folge existiert, so dass für [1]

Symmetrisch-Kohärent:

Falls , und symmetrisch sind, d. h. invariant unter der Transformation , und eine reelle Folge existiert, so dass für

dann bezeichnet man als symmetrisch-kohärent.

Selbst-Kohärent:

Falls dann bezeichnet man als selbst-kohärent.

Sei ein kohärentes Paar und orthogonal bezüglich . Weiter sei eine Folge von Polynomen, welche sobolev-orthogonal bezüglich sind und . Unter passender Normalisierung von und besitzt folgende Darstellung für

wobei unabhängig von sind.

Daraus folgt die Rekursionsrelation

wobei durch die geschrieben werden kann.[2]

  • F. Marcellan und Y. Xu: On Sobolev orthogonal polynomials. 2014 (englisch).

Einzelnachweise

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  1. F. Marcellan and Y. Xu: On Sobolev orthogonal polynomials. In: Expositiones Mathematicae. Band 33, Nr. 3, 2014, S. 308–352, arxiv:1403.6249.
  2. A. Iserles, P.E. Koch, S.P. Nørsett, J.M. Sanz-Serna,: On polynomials orthogonal with respect to certain Sobolev inner products. In: Journal of Approximation Theory. Vol. 65, Nr. 2, Mai 1991, doi:10.1016/0021-9045(91)90100-O.