Tensoralgebra

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Die Tensoralgebra ist ein mathematischer Begriff, der in vielen Bereichen der Mathematik wie der linearen Algebra, der Algebra, der Differentialgeometrie sowie in der Physik verwendet wird. Sie fasst „alle Tensoren“ über einem Vektorraum in der Struktur einer graduierten Algebra zusammen.

Es sei ein Vektorraum über einem Körper oder allgemeiner ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement. Wir definieren die Tensorprodukteräume

für mit der Konvention .

Dann ist die Tensoralgebra (als Vektorraum) definiert durch die direkte Summe aller Tensorprodukte des Raums mit sich selbst.

Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird zu einer -graduierten, unitären, assoziativen Algebra.

Verkürzte Tensoralgebra

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Den Raum

nennt man auch verkürzte Tensoralgebra (englisch truncated tensor algebra).

Wir betrachten somit folgenden Raum

Universelle Eigenschaft

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Die Tensoralgebra erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist eine assoziative -Algebra mit einem Einselement , sowie eine lineare Abbildung, so existiert genau ein Algebrenhomomorphismus , sodass das Diagramm

Universelle Eigenschaft der Tensoralgebra
Universelle Eigenschaft der Tensoralgebra

kommutiert. Dieser Algebrenhomomorphismus ist gegeben durch sowie .

ist ein Funktor von der Kategorie der -Vektorräume in die Kategorie der -Algebren. Für einen -Vektorraumhomomorphismus (eine lineare Abbildung) ist durch den Algebrenhomomorphismus gegeben, der nach der universellen Eigenschaft der Tensoralgebra durch induziert wird (hierbei ist die Einbettung).

Der Funktor ist linksadjungiert zum Vergissfunktor, der einer -Algebra, den zugrundeliegenden -Vektorraum zuordnet. Daher wird auch als die freie Algebra über bezeichnet.

Ist ein -dimensionaler -Vektorraum (bzw. ein freier Modul vom Rang ), so ist isomorph zur freien assoziativen Algebra über in Unbestimmten. Im Fall ist also isomorph zum Polynomring .

Ist allgemeiner eine beliebige nicht-leere Menge und ist der über erzeugte -Vektorraum, das heißt der freie K-Modul über , so ist die frei über erzeugte assoziative Algebra.

Quotientenräume der Tensoralgebra

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Durch Herausteilen eines bestimmten Ideals kann man aus der Tensoralgebra beispielsweise die symmetrische Algebra, die äußere Algebra oder die Clifford-Algebra gewinnen. Diese Algebren sind in der Differentialgeometrie von Bedeutung.