Typ und Kotyp eines Banach-Raumes

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Typ und Kotyp eines Banach-Raumes sind eine Klassifikation von Banach-Räumen und ein Maß um zu messen, wie weit ein Banach-Raum von einem Hilbert-Raum entfernt ist.

Ausgangspunkt ist die pythagoreische Identität eines Hilbert-Raumes. In einem Hilbert-Raum gilt für orthogonale Vektoren die Identität

Dies ist in allgemeinen Banach-Räumen nicht mehr der Fall. Die Orthogonalität wird in der Definition mit Hilfe von Rademacher-Zufallsvariablen formuliert, deshalb spricht man auch von Rademacher-Typ und Rademacher-Kotyp.

Der Begriff geht zurück auf den französischen Mathematiker Jean-Pierre Kahane.

Sei

  • ein Banach-Raum,
  • eine Folge von unabhängigen Rademacher-Zufallsvariablen, das heißt sowie für (Orthogonalität) und .

ist vom Typ mit , falls eine endliche Konstante existiert, so dass

für alle endlichen Folgen . Die beste Konstante nennen wir Type--Konstante und notieren sie mit .

ist vom Kotyp mit , falls eine endliche Konstante existiert, so dass

respektive

für alle endlichen Folgen . Die beste Konstante nennen wir Kotyp--Konstante und notieren sie mit .[1]

Durch ziehen der -ten resp. -ten Wurzel erhält man die Gleichung für die (Bochner)--Norm.

  • Die Gleichung lässt sich auch verkürzt mit der Bochner-Lebesgue-Norm schreiben.
  • Jeder Banach-Raum ist von Typ (folgt aus der Dreiecksungleichung).

Ein Banach-Raum:

  • ist von Typ und Kotyp genau dann, wenn er isomorph zu einem Hilbert-Raum ist, dann gilt die pythagoreische Identität.
  • der vom Typ ist, ist auch vom Typ .
  • der vom Kotyp ist, ist auch vom Kotyp .
  • der vom Typ (mit ) ist, besitzt einen Dualraum vom Kotyp , wobei der konjugierte Index ist. Weiter gilt [2]

In Banach-Räumen vom Typ gilt eine Version des zentralen Grenzwertsatz, wie von Jørgen Hoffmann-Jørgensen und Gilles Pisier gezeigt wurde.[3]

  • Die -Räume für sind vom Typ und vom Kotyp , das heißt ist vom Typ , ist vom Typ usw.
  • Die -Räume für sind vom Typ und vom Kotyp .
  • ist vom Typ und vom Kotyp .[4]
  • Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
  • Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Hrsg.: Springer New York. 1984.
  • Laurent Schwartz: Geometry and Probability in Banach Spaces. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 2006, ISBN 978-3-540-10691-3.
  • M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.

Einzelnachweise

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  1. Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
  2. Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
  3. Jørgen Hoffmann-Jørgensen und Gilles Pisier: The Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem in Banach Spaces. In: Ann. Probab. Band 4, Nr. 4, 1976, S. 587 - 599, doi:10.1214/aop/1176996029.
  4. M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.